Задача 5: Один из внешних углов треугольника равен 36°. Два других внешних угла, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1:2. Найдите наименьший из внутренних углов.

Пусть даны внешние углы \(\angle_1, \angle_2, \angle_3\) треугольника, и \(\angle_1 = 36°\). Тогда \(\angle_2 : \angle_3 = 1:2\), то есть \(\angle_3 = 2 \angle_2\).

Сумма внешних углов треугольника равна 360°:

$$ \angle_1 + \angle_2 + \angle_3 = 360° $$

Подставим известные значения:

$$ 36° + \angle_2 + 2 \angle_2 = 360° $$ $$ 3 \angle_2 = 360° - 36° $$ $$ 3 \angle_2 = 324° $$ $$ \angle_2 = 108° $$

Тогда \(\angle_3 = 2 \cdot 108° = 216°\). Это невозможно, так как внешний угол не может быть больше 180°. Вероятно, условие задачи подразумевает, что углы относятся как внутренние углы, не смежные с данным внешним. Решим задачу с этим условием.

Пусть дан внешний угол \(\alpha = 36°\). Внутренний угол, смежный с ним, равен:

$$ a = 180° - \alpha = 180° - 36° = 144° $$

Обозначим два других внутренних угла как \(b\) и \(c\), причём \(b:c = 1:2\), то есть \(c = 2b\).

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$ a + b + c = 180° $$

Подставим известные значения:

$$ 144° + b + 2b = 180° $$ $$ 3b = 180° - 144° $$ $$ 3b = 36° $$ $$ b = 12° $$

Тогда \(c = 2 \cdot 12° = 24°\).

Наименьший из внутренних углов равен 12°.

Ответ: 12°