Задача 3. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда - квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $$\sqrt{8}$$ и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть сторона квадратной грани равна $$a$$. Тогда диагональ этой грани тоже равна $$a\sqrt{2}$$. Так как диагональ параллелепипеда образует с плоскостью этой грани угол 45°, то высота параллелепипеда равна диагонали грани, то есть $$h = a\sqrt{2}$$. Диагональ параллелепипеда выражается формулой: $$\sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{8}$$ Подставим $$h = a\sqrt{2}$$: $$\sqrt{a^2 + a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{8}$$ $$\sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \sqrt{8}$$ $$\sqrt{4a^2} = \sqrt{8}$$ $$2a = \sqrt{8}$$ $$a = \frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ Тогда высота $$h = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$$. Объем параллелепипеда равен: $$V = a^2 \cdot h = (\sqrt{2})^2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$$ Ответ: 4