Задача 3: Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и \(\angle ABC = 5^{\circ}\). Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с AB = BC, углы \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\) равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ}\) Так как \(\angle BAC = \angle BCA\), можно записать: \(2 \cdot \angle BAC + 5^{\circ} = 180^{\circ}\) \(2 \cdot \angle BAC = 175^{\circ}\) \(\angle BAC = 87.5^{\circ}\) Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Вписанный угол BAC также опирается на дугу BC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Однако, в данном случае, угол BAC опирается на дугу BC, а не на дугу BAC, поэтому нужно найти угол, который опирается на дугу BC, вписанный в окружность. В данном случае, центральный угол \(\angle BOC\) опирается на ту же дугу, что и вписанный угол \(\angle BAC\). Следовательно, центральный угол в два раза больше вписанного: \(\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 87.5^{\circ} = 175^{\circ}\) Однако, нужно учитывать, что мы нашли угол BAC, который опирается на дугу BC. Нам нужно найти центральный угол BOC, опирающийся на эту же дугу. В данном случае, \(\angle ABC = 5^{\circ}\), значит, \(\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 5^{\circ})/2 = 87.5^{\circ}\). Центральный угол, опирающийся на дугу BC, равен \(\angle BOC = 180^{\circ} - \angle BAC\), так как \(\angle BOC\) и \(\angle BAC\) опираются на одну сторону. Центральный угол BOC равен: \(\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 5^{\circ} = 10^{\circ}\). Поскольку сумма углов четырехугольника ABOC равна 360, то \(\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 87.5^{\circ}\). Так как \(\angle ABC = 5^{\circ}\), угол AOC равен \(2 \cdot 5^{\circ} = 10^{\circ}\). Так как треугольник ABC равнобедренный, то \(\angle BAC = \angle BCA = (180 - 5) / 2 = 87.5^{\circ}\). Центральный угол BOC равен \(2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot (180 - 2 \cdot 87.5) = 10^{\circ}\). Тогда, \(\angle BOC = 170^{\circ}\). Так как \(\angle ABC = 5^{\circ}\). Ответ: 170