Задача №3: Основанием пирамиды служит квадрат. Две боковые грани её - перпендикулярны к плоскости её основания, две другие её боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, каждый из которых равен 30°. Высота пирамиды равна √2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача №3: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Основанием пирамиды является квадрат. Две боковые грани перпендикулярны основанию, следовательно, высота пирамиды проходит через одну из сторон основания. Пусть сторона основания равна a. Высота пирамиды равна $\sqrt{2}$. Так как двугранный угол равен 30°, тангенс угла между высотой и апофемой равен $\sqrt{2}/(a/2) = tg(30) = 1/\sqrt{3}$. Тогда $2\sqrt{2}/a = 1/\sqrt{3}$. Отсюда, $a = 2\sqrt{6}$. Площадь основания квадрата $S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$. Площадь двух боковых граней, перпендикулярных основанию, равна $2 * (1/2) * a * h = a * h = 2\sqrt{6} * \sqrt{2} = 4\sqrt{3}$. Апофема боковых граней равна $\sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Площадь двух других боковых граней равна $2 * (1/2) * a * 2\sqrt{2} = a * 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6} * 2\sqrt{2} = 4\sqrt{12} = 8\sqrt{3}$. Площадь боковой поверхности равна $4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$. Ответ: Площадь боковой поверхности равна $12\sqrt{3}$.