Задача 1: Отрезки AC и BD пересекаются в их середине M. Докажите, что BC || AD.

Доказательство: 1. По условию, точка M является серединой отрезков AC и BD. Это означает, что AM = MC и BM = MD. 2. Рассмотрим треугольники \(\triangle AMB\) и \(\triangle CMD\). В этих треугольниках: * AM = MC (по условию) * BM = MD (по условию) * \(\angle AMB = \angle CMD\) (как вертикальные углы) 3. Следовательно, \(\triangle AMB \cong \triangle CMD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует, что \(\angle MAB = \angle MCD\) и \(\angle MBA = \angle MDC\). Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущих AC и BD, соответственно. 5. Равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности прямых. Следовательно, BC || AD.