Задача 22: Постройте график функции \[y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x-3)(x+2)}\] и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решим задачу: 1. Разложим числитель на множители: \[x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\] 2. Упростим функцию: \[y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}\] При \(x
eq 3\) и \(x
eq -2\): \[y = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6\] Это парабола с выколотыми точками. 3. Найдем координаты вершины параболы: \[x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}\] \[y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25\] 4. Найдем выколотые точки: Если \(x = 3\), то \(y = (3 - 2)(3 + 3) = 1 \cdot 6 = 6\) Если \(x = -2\), то \(y = (-2 - 2)(-2 + 3) = -4 \cdot 1 = -4\) 5. Прямая \(y = c\) имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через одну из выколотых точек. 6. Значения \(c\), при которых прямая имеет с графиком одну общую точку: \[c = -6.25, \quad c = -4, \quad c = 6\] Ответ: \(c = -6.25, -4, 6\)