Задача 6. Равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 7 см и углом при основании 45° вращают вокруг основания. Найди площадь поверхности полученной фигуры.

Пошаговое решение:

1. Найдем угол при вершине треугольника: \( 180° - 2 \cdot 45° = 90° \). Это значит, что треугольник прямоугольный.
2. При вращении этого треугольника получатся два одинаковых конуса. Каждый конус имеет образующую, равную боковой стороне треугольника (7 см), и радиус основания, равный высоте, проведенной к гипотенузе (основанию) исходного треугольника.
3. Найдем высоту, проведенную к гипотенузе (радиус основания конуса). В прямоугольном равнобедренном треугольнике эта высота равна половине гипотенузы. Гипотенуза равна \( 7 \sqrt{2} \) см, тогда радиус равен \( \frac{7 \sqrt{2}}{2} \) см.
4. Площадь боковой поверхности одного конуса: \( S = \pi r l = \pi \cdot \frac{7 \sqrt{2}}{2} \cdot 7 = \frac{49 \sqrt{2}}{2} \pi \) см².
5. Площадь поверхности двух конусов: \( 2S = 2 \cdot \frac{49 \sqrt{2}}{2} \pi = 49 \sqrt{2} \pi \) см².

Ответ: \( 49 \sqrt{2} \pi \) см²