Задача 2: Тело состоит из цилиндра и размещенного сверху конуса, основания которых совпадают. Найдите объем данного тела, если его высота составляет 14 см, образующая конуса 10 см, а площадь основания 64π см².

Решение: 1. Основание конуса и цилиндра совпадают, и площадь основания дана как (64\pi) см². Площадь основания круга вычисляется как (A = \pi R^2), откуда можно найти радиус: (\pi R^2 = 64\pi), следовательно, (R^2 = 64), и (R = 8) см. 2. Высота конуса (h_k) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса ((l = 10) см). По теореме Пифагора: (h_k = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6) см. 3. Высота цилиндра (h_c) равна общей высоте тела минус высота конуса: (h_c = 14 - 6 = 8) см. 4. Объем конуса (V_k = \frac{1}{3} \pi R^2 h_k = \frac{1}{3} \pi (8^2) (6) = \frac{1}{3} \pi (64)(6) = 128\pi) см³. 5. Объем цилиндра (V_c = \pi R^2 h_c = \pi (8^2) (8) = \pi (64)(8) = 512\pi) см³. 6. Общий объем тела (V = V_k + V_c = 128\pi + 512\pi = 640\pi) см³. Ответ: Объем тела равен (640\pi) см³.