Задача 4: Высота цилиндра равна 8. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от неё на 6, равна 64. Найдите радиус цилиндра.

Решение: 1. Пусть (h) - высота цилиндра (8), (r) - радиус основания цилиндра, а расстояние от оси до секущей плоскости (d = 6). Площадь сечения (S = 64). 2. Сечение представляет собой прямоугольник со сторонами (h) и (2x), где (x) - половина длины хорды, отсекаемой секущей плоскостью в основании цилиндра. Таким образом, (S = 2x \cdot h), и (64 = 2x \cdot 8), следовательно, (x = 4). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом (r), расстоянием (d) и половиной хорды (x). По теореме Пифагора: (r^2 = d^2 + x^2), то есть (r^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52). 4. Таким образом, радиус цилиндра (r = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}). Ответ: Радиус цилиндра равен (2\sqrt{13}).