Задача 2: Треугольники ABD и BCD расположены по разные стороны от прямой BD, ∠ADB = ∠BDC, ∠ABD = ∠DBC. Докажите, что BD < AB + BC.

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ABD и BCD. По условию, ∠ADB = ∠BDC и ∠ABD = ∠DBC. BD - общая сторона. 2. Отложим на прямой BD отрезок BE, равный AB. Соединим точки A и E. 3. Треугольники ABD и EBD равны по двум сторонам и углу между ними (AB = BE, BD - общая, ∠ABD = ∠EBD). 4. Следовательно, AD = DE и ∠ADB = ∠EDB. Но ∠ADB = ∠BDC по условию, значит, ∠EDB = ∠BDC. 5. Рассмотрим треугольник EDC. В нем ∠EDB = ∠BDC. Значит, точка D лежит на биссектрисе угла EBC. 6. Отложим на прямой BD отрезок BF, равный BC. Соединим точки C и F. 7. Треугольники CBD и FBD равны по двум сторонам и углу между ними (BC = BF, BD - общая, ∠CBD = ∠FBD). 8. Следовательно, CD = DF и ∠BDC = ∠BDF. Но ∠BDC = ∠ADB по условию, значит, ∠BDF = ∠ADB. 9. Рассмотрим треугольник ADF. В нем ∠ADB = ∠BDF. Значит, точка D лежит на биссектрисе угла AFB. 10. По неравенству треугольника, BD < AB + AD и BD < BC + CD. 11. Сложим эти два неравенства: 2BD < AB + BC + AD + CD. 12. Заметим, что AD + CD = AC. 13. Получаем: 2BD < AB + BC + AC. 14. Следовательно, BD < (AB + BC + AC)/2. 15. Так как AC > 0, то BD < AB + BC. Что и требовалось доказать.