Задача 4: В окружности с центром в точке M провели диаметр RN и хорду NP так, что угол RNP равен 96°. Найдите градусную меру угла MNP.

Решение: 1. \(RN\) - диаметр, значит, \(\angle RPN = 90^{\circ}\) (как угол, опирающийся на диаметр). 2. В треугольнике \(\triangle RNP\) сумма углов равна \(180^{\circ}\). 3. \(\angle PRN = 180^{\circ} - (\angle RPN + \angle RNP) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 96^{\circ})\). Это невозможно, так как получается отрицательное значение. Вероятно, в условии ошибка, и угол \(\angle RNP = 30^{\circ}\) (или другое число меньше 90). Исправим. Допустим, \(\angle RNP = 30^{\circ}\). Тогда: 1. \(RN\) - диаметр, значит, \(\angle RPN = 90^{\circ}\) (как угол, опирающийся на диаметр). 2. В треугольнике \(\triangle RNP\) сумма углов равна \(180^{\circ}\). 3. \(\angle PRN = 180^{\circ} - (\angle RPN + \angle RNP) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 4. Так как \(MN = MP\) (радиусы), то треугольник \(\triangle MNP\) равнобедренный. Следовательно, \(\angle MNP = \angle MNR = \angle PRN = 60^{\circ}\). Ответ: Если \(\angle RNP = 30^{\circ}\), то \(\angle MNP = 60^{\circ}\). Если в условии \(\angle RNP = 96^{\circ}\), то задача не имеет решения, так как возникает противоречие.