Задача 2: В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 64°. Найдите величину угла ODC.

Решение: 1. \(\angle ABO = 64^\circ\) (дано). 2. \(\angle CBO = 90^\circ\), так как \(AD\) и \(BC\) - диаметры и пересекаются в центре O, образуя прямой угол. В условии сказано, что AD и BC - диаметры, но нет информации о том, что они перпендикулярны. Предположим, что они пересекаются под каким-то углом. Угол AOD = углу COB и угол AOC = углу BOD как вертикальные. 3. \(\angle OBC = \angle ABO = 64^\circ\) (в \(\triangle ABO\) ). Так как OA = OB (радиусы), то \(\triangle ABO\) - равнобедренный, и углы при основании равны. Поэтому \(\angle BAO = \angle ABO = 64^\circ\). 4. Рассмотрим \(\triangle ODC\). Поскольку OD = OC (радиусы), \(\triangle ODC\) - равнобедренный с основанием DC. 5. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, \(\angle ODC = \angle OCD\). 6. \(\angle AOB = 180^\circ - 64^\circ - 64^\circ = 52^\circ\). 7. \(\angle COD = \angle AOB = 52^\circ\) (как вертикальные углы). 8. Теперь найдем \(\angle ODC\). В \(\triangle ODC\) сумма углов равна 180°: \(\angle ODC + \angle OCD + \angle COD = 180^\circ\). 9. Так как \(\angle ODC = \angle OCD\), то \(2 \cdot \angle ODC + 52^\circ = 180^\circ\). 10. \(2 \cdot \angle ODC = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\). 11. \(\angle ODC = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ\). **Ответ: 64°**