Задача 3: В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите: а) стороны ΔABC; б) отношение, в котором CD делит площадь треугольника ABC.

a) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и высотой CD. Пусть CD = x, тогда BD = x + 4. 1. Используем свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла: $CD^2 = AD * BD$. $x^2 = 9 * (x + 4)$. $x^2 = 9x + 36$. $x^2 - 9x - 36 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-9)^2 - 4 * 1 * (-36) = 81 + 144 = 225$. $x_1 = \frac{9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$. $x_2 = \frac{9 - \sqrt{225}}{2} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). Итак, CD = 12 см, BD = 12 + 4 = 16 см. 2. Найдем гипотенузу AB: $AB = AD + BD = 9 + 16 = 25$ см. 3. Найдем катет AC, используя теорему Пифагора в треугольнике ADC: $AC^2 = AD^2 + CD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $AC = \sqrt{225} = 15$ см. 4. Найдем катет BC, используя теорему Пифагора в треугольнике BDC: $BC^2 = BD^2 + CD^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$. $BC = \sqrt{400} = 20$ см. **Ответ: AC = 15 см, BC = 20 см, AB = 25 см.** б) Найдем отношение, в котором CD делит площадь треугольника ABC. $S_{ABC} = \frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * 15 * 20 = 150$ см$^2$. $S_{ACD} = \frac{1}{2} * AD * CD = \frac{1}{2} * 9 * 12 = 54$ см$^2$. $S_{BCD} = \frac{1}{2} * BD * CD = \frac{1}{2} * 16 * 12 = 96$ см$^2$. $\frac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \frac{54}{96} = \frac{9}{16}$. **Ответ: $S_{ACD} : S_{BCD} = 9 : 16$.**