Задача 2: В прямоугольном треугольнике ABC высота BH, проведённая из вершины прямого угла B, делит гипотенузу на два отрезка AH = 36 см и CH = 25 см. Найдите: a) BH, AB, BC; б) $S_{ABH} : S_{CBH}$

a) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B и высотой BH. 1. Найдем длину гипотенузы AC: $AC = AH + CH = 36 + 25 = 61$ см. 2. Найдем высоту BH, используя свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла: $BH^2 = AH * CH = 36 * 25 = 900$. $BH = \sqrt{900} = 30$ см. 3. Найдем катет AB, используя теорему Пифагора в треугольнике ABH: $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 36^2 + 30^2 = 1296 + 900 = 2196$. $AB = \sqrt{2196} = 6\sqrt{61}$ см. 4. Найдем катет BC, используя теорему Пифагора в треугольнике BCH: $BC^2 = CH^2 + BH^2 = 25^2 + 30^2 = 625 + 900 = 1525$. $BC = \sqrt{1525} = 5\sqrt{61}$ см. **Ответ: BH = 30 см, AB = $6\sqrt{61}$ см, BC = $5\sqrt{61}$ см.** б) Найдем отношение площадей треугольников ABH и CBH. $S_{ABH} = \frac{1}{2} * AH * BH = \frac{1}{2} * 36 * 30 = 540$ см$^2$. $S_{CBH} = \frac{1}{2} * CH * BH = \frac{1}{2} * 25 * 30 = 375$ см$^2$. $\frac{S_{ABH}}{S_{CBH}} = \frac{540}{375} = \frac{36}{25}$. **Ответ: $S_{ABH} : S_{CBH} = 36 : 25$.**