Задача 1: В прямоугольном треугольнике ABC высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC, равный 18 см. Найдите AB и cos A.

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике ABC высота BD является перпендикуляром к гипотенузе AC. Следовательно, треугольник BDC - прямоугольный. 2. Применим теорему Пифагора к треугольнику BDC, чтобы найти сторону BC: $$BC^2 = BD^2 + DC^2$$ $$BC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$$ $$BC = \sqrt{900} = 30$$ см 3. Треугольники ABC и BDC подобны (по двум углам: прямой угол и общий угол C). Из подобия следует пропорция: $$\frac{BC}{AC} = \frac{DC}{BC}$$ Найдем AC: $$AC = \frac{BC^2}{DC} = \frac{30^2}{18} = \frac{900}{18} = 50$$ см 4. Теперь можем найти AD: $$AD = AC - DC = 50 - 18 = 32$$ см 5. Применим теорему Пифагора к треугольнику ABD, чтобы найти сторону AB: $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$ $$AB^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600$$ $$AB = \sqrt{1600} = 40$$ см 6. Теперь найдем cos A: $$cos A = \frac{AD}{AB} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$$ Ответ: * AB = **40 см** * cos A = **0.8**