Задача 3: В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1: 8. Найдите основания трапеции и её площадь.

Решение: 1. Пусть основания трапеции равны a и b, где a – меньшее основание, а b – большее основание. По условию, a : b = 1 : 8, то есть b = 8a. 2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$\frac{a + b}{2} = 18$$ Подставим b = 8a: $$\frac{a + 8a}{2} = 18$$ $$9a = 36$$ $$a = 4$$ см Тогда b = 8a = 8 * 4 = 32 см. 3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°. Это означает, что смежный с ним угол равен 180° - 135° = 45°. Опустим высоту h из вершины верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 45°, следовательно, и второй острый угол равен 45°, то есть это равнобедренный прямоугольный треугольник. 4. Разность оснований равна 32 - 4 = 28 см. Эта разность является катетом в прямоугольном равнобедренном треугольнике, образованном высотой и частью большего основания. Следовательно, высота h равна этой разности: $$h = 28$$ см. 5. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = 18 \cdot 28 = 504$$ см$$^2$$ Ответ: * Основания трапеции: **4 см и 32 см** * Площадь трапеции: **504 см²**