Задача 596: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна *c*, а один из острых углов равен \(\alpha\). Выразите второй острый угол и катеты через *c* и \(\alpha\) и найдите их значения, если *c* = 24 см, \(\alpha\) = 35°.

Решение: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, гипотенуза AB = c, угол BAC = \(\alpha\). Нужно выразить угол ABC (обозначим его \(\beta\)), катет AC и катет BC через c и \(\alpha\). * Угол ABC (\(\beta\)) можно найти, зная, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: \(\beta = 90° - \alpha\) * Катет AC (прилежащий к углу \(\alpha\)) можно найти, используя косинус угла \(\alpha\): \(\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{c}\) Отсюда, \(AC = c \cdot \cos(\alpha)\) * Катет BC (противолежащий к углу \(\alpha\)) можно найти, используя синус угла \(\alpha\): \(\sin(\alpha) = \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{c}\) Отсюда, \(BC = c \cdot \sin(\alpha)\) Найдем значения \(\beta\), AC и BC, если c = 24 см, \(\alpha\) = 35°. * \(\beta = 90° - 35° = 55°\) * \(AC = 24 \cdot \cos(35°) \approx 24 \cdot 0.8192 \approx 19.66\) см * \(BC = 24 \cdot \sin(35°) \approx 24 \cdot 0.5736 \approx 13.77\) см Ответ: \(\beta = 90° - \alpha\), \(AC = c \cdot \cos(\alpha)\), \(BC = c \cdot \sin(\alpha)\) \(\beta\) = 55°, AC ≈ 19.66 см, BC ≈ 13.77 см