Задача 595: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен *b*, а прилежащий к нему угол равен \(\alpha\). а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через *b* и \(\alpha\). б) Найдите их значения, если *b* = 12 см, \(\alpha\) = 42°.

Решение: а) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, катет AC = b, угол BAC = \(\alpha\). Нужно выразить катет BC, угол ABC и гипотенузу AB через b и \(\alpha\). * Катет BC (противолежащий к углу \(\alpha\)) можно найти, используя тангенс угла \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{b}\) Отсюда, \(BC = b \cdot \tan(\alpha)\) * Угол ABC (обозначим его \(\gamma\)) можно найти, зная, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: \(\gamma = 90° - \alpha\) * Гипотенузу AB можно найти, используя косинус угла \(\alpha\): \(\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{AB}\) Отсюда, \(AB = \frac{b}{\cos(\alpha)}\) б) Найдем значения BC, \(\gamma\) и AB, если b = 12 см, \(\alpha\) = 42°. * \(BC = 12 \cdot \tan(42°) \approx 12 \cdot 0.9004 \approx 10.80\) см * \(\gamma = 90° - 42° = 48°\) * \(AB = \frac{12}{\cos(42°)} \approx \frac{12}{0.7431} \approx 16.15\) см Ответ: а) \(BC = b \cdot \tan(\alpha)\), \(\gamma = 90° - \alpha\), \(AB = \frac{b}{\cos(\alpha)}\) б) BC ≈ 10.80 см, \(\gamma\) = 48°, AB ≈ 16.15 см