Задача 594: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен *b*, а противолежащий угол равен \(\beta\). а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через *b* и \(\beta\). б) Найдите их значения, если *b* = 10 см, \(\beta\) = 50°.

Решение: а) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, катет BC = b, угол BAC = \(\beta\). Нужно выразить катет AC и гипотенузу AB через b и \(\beta\). * Катет AC (прилежащий к углу \(\beta\)) можно найти, используя тангенс угла \(\beta\): \(\tan(\beta) = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{AC}\) Отсюда, \(AC = \frac{b}{\tan(\beta)}\) * Гипотенузу AB можно найти, используя синус угла \(\beta\): \(\sin(\beta) = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{AB}\) Отсюда, \(AB = \frac{b}{\sin(\beta)}\) б) Найдем значения AC и AB, если b = 10 см, \(\beta\) = 50°. * \(AC = \frac{10}{\tan(50°)} \approx \frac{10}{1.1918} \approx 8.39\) см * \(AB = \frac{10}{\sin(50°)} \approx \frac{10}{0.7660} \approx 13.05\) см Ответ: а) \(AC = \frac{b}{\tan(\beta)}\), \(AB = \frac{b}{\sin(\beta)}\) б) AC ≈ 8.39 см, AB ≈ 13.05 см