Задача 10: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 3 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза. По условию, гипотенуза делится точкой касания на отрезки 5 см и 3 см, следовательно, c = 5 + 3 = 8 см. Пусть r - радиус вписанной окружности. Известно, что в прямоугольном треугольнике a + b = c + 2r. Также известно, что отрезки от вершины до точки касания вписанной окружности на катетах равны между собой и равны r, а отрезки на гипотенузе от точки касания до вершин равны длинам катетов минус r. Следовательно, a - r = 5 и b - r = 3. Тогда a = 5 + r и b = 3 + r. Подставим выражения для a и b в формулу a + b = c + 2r: (5 + r) + (3 + r) = 8 + 2r. 8 + 2r = 8 + 2r. Это равенство верно всегда, поэтому нужно использовать другую зависимость. Воспользуемся теоремой Пифагора: a² + b² = c² (5 + r)² + (3 + r)² = 8² 25 + 10r + r² + 9 + 6r + r² = 64 2r² + 16r + 34 = 64 2r² + 16r - 30 = 0 r² + 8r - 15 = 0 Решим квадратное уравнение относительно r: D = 8² - 4 * 1 * (-15) = 64 + 60 = 124, √D = 2√31 r₁ = (-8 + 2√31) / 2 = -4 + √31, r₂ = (-8 - 2√31) / 2 = -4 - √31 (не подходит, т.к. r > 0) Итак, r = √31 - 4. Тогда a = 5 + √31 - 4 = 1 + √31 и b = 3 + √31 - 4 = √31 - 1 Площадь прямоугольного треугольника S = (1/2) * a * b = (1/2) * (1 + √31) * (√31 - 1) = (1/2) * (31 - 1) = (1/2) * 30 = 15. Ответ: Площадь треугольника равна 15 см².