Задача 3: В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции используем формулу: $$S = \frac{(a+b)}{2} * h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания, $$h$$ - высота трапеции. У нас $$a = 4$$, $$b = 8$$. Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Угол между боковой стороной и основанием равен 45°, значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник. Разница между основаниями равна $$8 - 4 = 4$$. Эта разница делится пополам, так как трапеция равнобедренная, следовательно, длина отрезка на большем основании равна $$\frac{4}{2} = 2$$ с каждой стороны. Поскольку угол равен 45°, высота равна половине разности оснований, то есть $$h = \frac{8-4}{2} = 2$$. Теперь найдем площадь: $$S = \frac{(4+8)}{2} * 2 = \frac{12}{2} * 2 = 6 * 2 = 12$$. Ответ: Площадь трапеции равна 12.