Задача 1: В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 20 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, за каждый последующий – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 17,5 штрафных очков?

Решение: Эта задача связана с арифметической прогрессией. Штрафные очки за промахи образуют арифметическую прогрессию, где первый член ( a_1 = 1 ), а разность ( d = 0.5 ). Нам нужно найти количество промахов ( n ), при котором сумма штрафных очков равна 17.5. Сумма ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \] В нашем случае ( S_n = 17.5 ), ( a_1 = 1 ), и ( d = 0.5 ). Подставим значения в формулу: \[ 17.5 = \frac{n}{2} [2(1) + (n - 1)(0.5)] \] Упростим уравнение: \[ 35 = n [2 + 0.5n - 0.5] \] \[ 35 = n [1.5 + 0.5n] \] \[ 35 = 1.5n + 0.5n^2 \] Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[ 70 = 3n + n^2 \] Преобразуем уравнение к квадратному виду: \[ n^2 + 3n - 70 = 0 \] Решим квадратное уравнение. Можно либо воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения, либо попытаться разложить на множители. В данном случае уравнение можно разложить на множители: \[ (n - 7)(n + 10) = 0 \] Отсюда получаем два возможных значения для ( n ): ( n = 7 ) или ( n = -10 ). Поскольку количество промахов не может быть отрицательным, выбираем ( n = 7 ). Итак, стрелок сделал 7 промахов. Поскольку всего было 20 выстрелов, количество попаданий равно: \[ 20 - 7 = 13 \] Ответ: Стрелок попал в цель 13 раз.