Задача 3: В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 30° и ∠BDC=110°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Поскольку AB = CD, трапеция ABCD – равнобедренная. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Углы BDC и BDA смежные, и вместе составляют угол ADC. Значит, ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 30° + 110° = 140°. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть ∠BCD = ∠ADC = 140°. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180°. Следовательно, ∠ABC = 180° - ∠BCD = 180° - 140° = 40°. Угол ABD и угол DBC вместе составляют угол ABC. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть ∠BAC=∠BCA и ∠ABD=∠BDC. Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠BAD = 180 - ∠BDA - ∠ABD Углы BDA = 30. Угол ABD = x Угол BAC = 180 - 30 - x = 150 - x ∠ABC= 40° ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠CBD = 180 - ∠BDC - ∠BCD ∠CBD = 180 - 110 - 140 = -70 (невозможно) Поскольку трапеция равнобедренная, ∠ABD=∠CDB=110°. Тогда ∠ABC = ∠ABD+∠DBC; ∠DBC= ∠ABC-∠ABD; ∠ABC+∠BCD=180°. ∠BCD = 180°-∠ABC. ∠ADC = ∠BCD = 180°-∠ABC ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC ∠ADC = ∠ADB+∠BDC ∠ABC+∠BDC = ∠ABD+∠DBC+∠BDC, 180 = ∠ABD+∠DBC+∠BDC = ∠ABD+∠DBC+110° Угол ∠DBC = 70 - ∠ABD ∠ADC=180-∠ABC; ∠ADB=∠ADC-∠BDC = 180-∠ABC - ∠BDC = 180-∠ABC - 110 = 70-∠ABC = 30 ∠ABC = 40 Следовательно ∠ABD = 40° **Ответ: 40**