Задача №5 * В трапеции ABCD ВС и AD- основания трапеции. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ=10см, ВС=3см, CD=17см, AD=24см.

Решение:

Для начала найдем высоту трапеции. Проведем высоты BH и CK к основанию AD. Тогда AH + KD = AD - BC = 24 - 3 = 21 см.

Пусть AH = x, тогда KD = 21 - x. В прямоугольном треугольнике ABH: \(BH^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - x^2\). В прямоугольном треугольнике CDK: \(CK^2 = CD^2 - KD^2 = 17^2 - (21-x)^2\). Так как BH = CK, то \(10^2 - x^2 = 17^2 - (21-x)^2\). Тогда \(100 - x^2 = 289 - (441 - 42x + x^2)\). Тогда \(100 - x^2 = 289 - 441 + 42x - x^2\). Тогда \(100 = -152 + 42x\). Тогда \(42x = 252\). Тогда \(x = \frac{252}{42} = 6\). Значит, AH = 6 см.

Тогда \(BH = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\). Тогда площадь трапеции равна \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{3 + 24}{2} \cdot 8 = \frac{27}{2} \cdot 8 = 27 \cdot 4 = 108\) см².