Задача №4 АВСD-ромб, АВ=30см, АС:BD=4:3. Найдите площадь ромба ABCD.

Пусть AC = 4x, BD = 3x.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где O - точка пересечения диагоналей.

\[AO = \frac{AC}{2} = 2x, \quad BO = \frac{BD}{2} = \frac{3}{2}x\]

По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AO^2 + BO^2\]

\[30^2 = (2x)^2 + (\frac{3}{2}x)^2\]

\[900 = 4x^2 + \frac{9}{4}x^2\]

\[900 = \frac{16}{4}x^2 + \frac{9}{4}x^2 = \frac{25}{4}x^2\]

\[x^2 = \frac{900 \cdot 4}{25} = \frac{3600}{25} = 144\]

\[x = \sqrt{144} = 12\]

Тогда AC = 4 * 12 = 48 см, BD = 3 * 12 = 36 см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 36 = 24 \cdot 36 = 864 \text{ см}^2\]