Задача 3: В треугольнике ABC AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC – точки P и K соответственно (точки P, M, K не лежат на одной прямой). Известно, что угол BMP равен углу BMK. Докажите, что: a) углы BPM и BKM равны; б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

Решение: a) Доказательство равенства углов BPM и BKM: Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. BE – медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, следовательно, BE является также биссектрисой и высотой. Значит, угол ABE равен углу CBE. Дано: \(\angle BMP = \angle BMK\) Рассмотрим треугольники BMP и BMK. У них: * BM – общая сторона. * \(\angle BMP = \angle BMK\) (по условию). * \(\angle MBE = \angle KBE\) (так как BE – биссектриса угла ABC). Следовательно, треугольники BMP и BMK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle BPM = \angle BKM\). б) Доказательство перпендикулярности прямых PK и BM: Из равенства треугольников BMP и BMK (доказано выше) следует равенство отрезков MP и MK. Значит, треугольник PMK – равнобедренный с основанием PK. Пусть L - точка пересечения BM и PK. Так как треугольники BMP и BMK равны, то BP = BK. Треугольник BPK равнобедренный, следовательно медиана BL является высотой. Так как MP = MK, то ML - медиана в треугольнике MPK. Значит, ML – высота в равнобедренном треугольнике MPK, проведенная к основанию PK, тогда ML перпендикулярна PK. Поскольку ML является частью прямой BM, то BM перпендикулярна PK. Ответ: Углы BPM и BKM равны; прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.