Задача 3: В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке O, ∠ABC = 30°, ∠AOB = 107°. Докажите, что треугольник ABC не является остроугольным.

Дано: треугольник ABC, AA1 и BB1 - биссектрисы, пересекаются в точке O, ∠ABC = 30°, ∠AOB = 107°. Доказать: треугольник ABC не является остроугольным. Решение: ∠ABO = ∠ABC / 2 = 30° / 2 = 15° (так как BB1 - биссектриса). В треугольнике AOB: ∠BAO = 180° - ∠ABO - ∠AOB = 180° - 15° - 107° = 58°. ∠BAC = 2 * ∠BAO = 2 * 58° = 116° (так как AA1 - биссектриса). Так как ∠BAC = 116° > 90°, то треугольник ABC - тупоугольный, следовательно, он не является остроугольным. Что и требовалось доказать.