Задача 1: В треугольнике MKP медиана MC равна половине стороны KP. Найдите угол M треугольника MKP.

Пусть MC - медиана треугольника MKP и MC = KP/2. Так как MC = KP/2, то MC = KC = MP (поскольку медиана делит сторону KP пополам, KC=CP). Это означает, что треугольники MKC и MPC - равнобедренные. Пусть ∠MKC = α и ∠MPC = β. Тогда в треугольнике MKC: ∠MCK = ∠MKC = α. В треугольнике MPC: ∠MCP = ∠MPC = β. ∠MKP = α + β Сумма углов треугольника MKP равна 180°: ∠M + ∠K + ∠P = 180° ∠M = 180° - ∠K - ∠P ∠M = 180° - 2α - 2β = 180° - 2(α + β) = 180° - 2 * ∠MKP Рассмотрим треугольник MKC. Сумма его углов равна 180°: ∠KMC = 180 - 2α Рассмотрим треугольник MPC. Сумма его углов равна 180°: ∠PMC = 180 - 2β ∠KMC + ∠PMC = 360 - 2α - 2β ∠KMP = 180 - 2α - 2β Если MC = KP/2, то около треугольника MKP можно описать окружность, где MC будет радиусом. Центр окружности будет лежать на стороне KP. Так как MC = KC = MP, то центр окружности лежит в точке C. Следовательно, угол ∠KMP = 90°. Ответ: ∠M = 90°