Задача 1: В треугольнике ABC угол A равен 45 градусам, угол B равен 60 градусам, сторона BC равна 3√2. Найти сторону AC.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \), где a, b, c - стороны треугольника, а A, B, C - противолежащие им углы. 1. Найдем угол C: Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то \( C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75° \). 2. Применим теорему синусов: Мы знаем сторону BC (a = 3√2) и угол A, противолежащий ей. Нам нужно найти сторону AC (b) и мы знаем угол B, противолежащий ей. \( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \) \( \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°} \) 3. Вычислим значения синусов: \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 4. Подставим значения синусов в уравнение: \( \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \) 5. Решим уравнение относительно AC: \( AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3} \) Итоговый ответ: Сторона AC равна \( 3\sqrt{3} \).