Задача 6. В треугольнике ABC угол B прямой. Докажите, что: а) прямая AB является касательной к окружности с центром A и радиусом AB; б) прямая AB является касательной к окружности с центром C и радиусом CB; в) прямая AC не является касательной к окружностям с центром B и радиусами BA и BC.

Для доказательства этих утверждений, нужно вспомнить определение касательной к окружности. * а) Прямая AB является касательной к окружности с центром A и радиусом AB: Окружность с центром в точке A и радиусом AB проходит через точку B. Прямая AB, проходящая через точку B, является касательной к окружности, так как угол ABC прямой (по условию задачи). Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. * б) Прямая AB является касательной к окружности с центром C и радиусом CB: Окружность с центром в точке C и радиусом CB проходит через точку B. Прямая AB, проходящая через точку B, является касательной к окружности, так как угол ABC прямой (по условию задачи). Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. * в) Прямая AC не является касательной к окружностям с центром B и радиусами BA и BC: Для того, чтобы AC была касательной к окружности с центром B, она должна быть перпендикулярна радиусу, проведенному из точки B к точке касания на AC. Так как треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B, углы A и C острые. Следовательно, AC не перпендикулярна ни BA, ни BC, и, таким образом, не является касательной ни к одной из этих окружностей.