Задача. Перпендикуляр, проведенный из точки A прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 3 см. Является ли прямая AH касательной к окружности, если: а) OA = 5 см, AH = 4 см; б) \(\angle HAO = 45^\circ\), OA = 4 см; в) \(\angle HAO = 30^\circ\), OA = 6 см?

Для решения этой задачи, нужно понять, выполняется ли условие касательной к окружности: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Также, если прямая AH является касательной, то расстояние от центра окружности до прямой AH должно быть равно радиусу. * a) OA = 5 см, AH = 4 см: Если AH - перпендикуляр к прямой, проходящей через центр O, то получается прямоугольный треугольник \(\triangle OHA\). В этом треугольнике OA - гипотенуза, AH - катет. Если AH является касательной, то OH должен быть радиусом окружности, то есть OH = 3 см. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: \[OH^2 + AH^2 = OA^2\] \[3^2 + 4^2 = 5^2\] \[9 + 16 = 25\] \[25 = 25\] Условие выполняется. Значит, прямая AH является касательной к окружности. * б) \(\angle HAO = 45^\circ\), OA = 4 см: Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OHA\), где OH - расстояние от центра окружности до прямой AH. Если AH - касательная, то OH должно быть равно радиусу (3 см). В прямоугольном треугольнике \(\triangle OHA\): \[\sin(\angle HAO) = \frac{OH}{OA}\] \[\sin(45^\circ) = \frac{OH}{4}\] \[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{OH}{4}\] \[OH = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \text{ см}\] Так как OH \(\approx\) 2.83 см, что не равно радиусу (3 см), прямая AH не является касательной к окружности. * в) \(\angle HAO = 30^\circ\), OA = 6 см: Снова рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OHA\): \[\sin(\angle HAO) = \frac{OH}{OA}\] \[\sin(30^\circ) = \frac{OH}{6}\] \[\frac{1}{2} = \frac{OH}{6}\] \[OH = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}\] Так как OH = 3 см, что равно радиусу окружности, прямая AH является касательной к окружности. Ответ: * а) Является касательной. * б) Не является касательной. * в) Является касательной.