Задача 1: В треугольнике $$KOH$$ известны три стороны: $$KO = 31$$ см, $$KH = 17$$ см, $$OH = 24$$ см. Сторону $$KO$$ продолжили за точку $$O$$ на отрезок $$OA$$, равный $$46.5$$ см, а сторону $$HO$$ продолжили за точку $$O$$ на отрезок $$OC$$, равный $$36$$ см. Найдите $$CA$$.

Решение: 1. Находим длины отрезков $$KA$$ и $$HC$$: $$KA = KO + OA = 31 + 46.5 = 77.5$$ см $$HC = HO + OC = 24 + 36 = 60$$ см 2. Рассмотрим треугольники $$KOH$$ и $$CAH$$. Заметим, что углы $$KOH$$ и $$COA$$ равны как вертикальные. Обозначим $$\angle KOH = \angle COA = \alpha$$. 3. Применим теорему косинусов для треугольника $$KOH$$: $$KH^2 = KO^2 + OH^2 - 2 cdot KO cdot OH cdot \cos(\alpha)$$ $$17^2 = 31^2 + 24^2 - 2 cdot 31 cdot 24 cdot \cos(\alpha)$$ $$289 = 961 + 576 - 1488 \cos(\alpha)$$ $$1488 \cos(\alpha) = 1248$$ $$\cos(\alpha) = \frac{1248}{1488} = \frac{13}{16}$$ 4. Применим теорему косинусов для треугольника $$COA$$: $$CA^2 = (KO + OA)^2 + (HO + OC)^2 - 2 cdot (KO+OA) cdot (HO+OC) \cos(\alpha)$$ $$CA^2 = KA^2 + HC^2 - 2 cdot KA cdot HC cdot \cos(\alpha)$$ $$CA^2 = 77.5^2 + 60^2 - 2 cdot 77.5 cdot 60 cdot \frac{13}{16}$$ $$CA^2 = 6006.25 + 3600 - 9300 \cdot \frac{13}{16}$$ $$CA^2 = 9606.25 - 7537.5 = 2068.75$$ $$CA = \sqrt{2068.75} \approx 45.48$$ **Ответ: $$CA \approx 45.48$$ см**