Задача 1: Высота делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки длиной 49 и 169. Найдите эту высоту и катеты треугольника.

Решение: Пусть h - высота, опущенная на гипотенузу, a и b - катеты, c - гипотенуза, x и y - проекции катетов на гипотенузу. По условию, x = 49 и y = 169. 1. Найдем высоту h: По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной на гипотенузу, имеем: h^2 = x * y. $h^2 = 49 * 169$ $h = \sqrt{49 * 169} = \sqrt{49} * \sqrt{169} = 7 * 13 = 91$ Таким образом, высота h = 91. 2. Найдем катеты a и b: По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, имеем: $a^2 = c * x$ и $b^2 = c * y$, где c = x + y. $c = 49 + 169 = 218$ $a^2 = 218 * 49$ $a = \sqrt{218 * 49} = 7\sqrt{218} approx 105.5$ $b^2 = 218 * 169$ $b = \sqrt{218 * 169} = 13\sqrt{218} approx 191.4$ Таким образом, катеты a и b приблизительно равны 105.5 и 191.4. Ответ: Высота равна 91, катеты приблизительно равны 105.5 и 191.4.