Задача 2: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых 25 см, а другой 9 см. Найдите стороны данного треугольника и площадь.

Решение: 1. Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C - прямой. Пусть высота, проведённая из вершины C, пересекает гипотенузу AB в точке H. Тогда AH = 25 см и HB = 9 см. 2. Найдем длину гипотенузы AB: $$AB = AH + HB = 25 + 9 = 34$$ см 3. Применим свойство высоты, проведённой из вершины прямого угла: $$CH^2 = AH * HB$$ $$CH^2 = 25 * 9 = 225$$ $$CH = \sqrt{225} = 15$$ см 4. Применим теорему Пифагора к треугольнику ACH: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$ $$AC^2 = 25^2 + 15^2 = 625 + 225 = 850$$ $$AC = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}$$ см 5. Применим теорему Пифагора к треугольнику BCH: $$BC^2 = BH^2 + CH^2$$ $$BC^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$$ $$BC = \sqrt{306} = 3\sqrt{34}$$ см 6. Найдем площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} * AB * CH = \frac{1}{2} * 34 * 15 = 17 * 15 = 255$$ см² Ответ: Стороны треугольника: $$5\sqrt{34}$$ см, $$3\sqrt{34}$$ см, 34 см. Площадь треугольника: **255 см²**.