Задача 1. BN = 5, AC = 4, ∠ACB = 60°. AB — ? Найдите площадь треугольника, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности.

На рисунке сторона обозначена как BC = 5, тогда как в тексте, по-видимому, указано BN = 5; точки N на чертеже нет. Решение ниже использует данные рисунка: BC = 5.

1. По теореме косинусов: AB² = AC² + BC² − 2 · AC · BC · cos 60° = 16 + 25 − 20 = 21, поэтому AB = √21.
2. Площадь: S = ½ · AC · BC · sin 60° = 5√3.
3. Радиус описанной окружности: R = AB / (2 sin 60°) = √7.
4. Полупериметр p = (4 + 5 + √21) / 2. Радиус вписанной окружности: r = S / p = 10√3 / (9 + √21).

Ответ: AB = √21, S = 5√3, R = √7, r = 10√3 / (9 + √21).