Задача 1: Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию - 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение:

Сначала найдем вероятность того, что абитуриент З. поступит на специальность «Лингвистика». Для этого нужно, чтобы он набрал не менее 70 баллов по математике, русскому языку и иностранному языку. Вероятность этого равна:

$$P(\text{Лингвистика}) = 0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.7 = 0.336$$

Затем найдем вероятность того, что абитуриент З. поступит на специальность «Коммерция». Для этого нужно, чтобы он набрал не менее 70 баллов по математике, русскому языку и обществознанию. Вероятность этого равна:

$$P(\text{Коммерция}) = 0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.5 = 0.24$$

Теперь найдем вероятность того, что абитуриент З. поступит хотя бы на одну из двух специальностей. Для этого нужно сложить вероятности поступления на каждую из специальностей и вычесть вероятность поступления на обе специальности (чтобы не учитывать ее дважды). Вероятность поступления на обе специальности равна:

$$P(\text{Лингвистика и Коммерция}) = 0.6 \cdot 0.8 = 0.48$$

Так как математика и русский язык общие для обеих специальностей.

Но это не правильно. Нужно найти вероятность объединения двух событий: поступит на Лингвистику ИЛИ поступит на Коммерцию. Используем формулу:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

где A - поступление на Лингвистику, B - поступление на Коммерцию. P(A) и P(B) мы уже нашли. Осталось найти $$P(A \cap B)$$. Для этого нужно, чтобы он сдал все четыре экзамена: математику, русский, иностранный и обществознание.

$$P(A \cap B) = 0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.7 \cdot 0.5 = 0.168$$

Тогда:

$$P(A \cup B) = 0.336 + 0.24 - 0.168 = 0.408$$

Ответ: 0,408