Задача 1. Квадрат ABCD и ромб ABKV имеют общую сторону AB, но лежат в разных плоскостях. Точки M, N — середины AC и AD. 1) Как и почему расположены: а) AK и NB, б) BK и (NVM), в) MV и NK? 2) Найти ∠(VK, AC), ∠(NM, BK), если сумма двух углов ромба равна 226°.

Обозначим плоскость квадрата через α, а плоскость ромба — через γ. Они пересекаются по AB.

1. а) AK лежит в γ и пересекает α только в A. Прямая NB лежит в α, но A не принадлежит NB, поэтому AK и NB не пересекаются. Они не параллельны, следовательно, скрещиваются.
   б) В квадрате MN ∥ AB. Плоскость (NVM) пересекает γ по прямой через V, параллельной AB. В ромбе BK не параллельна AB и не проходит через V, поэтому BK пересекает эту линию пересечения плоскостей в точке, принадлежащей плоскости (NVM). Следовательно, BK пересекает (NVM).
   в) По имеющимся данным однозначно определить взаимное расположение MV и NK нельзя: положения двух плоскостей не фиксируют форму ромба относительно квадрата. Нужен чертёж или дополнительные условия о расположении ромба.
2. Углы ромба попарно равны, а соседние углы в сумме дают 180°. Если сумма двух углов равна 226°, это сумма противоположных углов: каждый из них равен 113°, а каждый соседний — 67°. Так как VK ∥ AB, а AC — диагональ квадрата, угол между VK и AC равен 45°. Поскольку NM ∥ AB и BK образует с AB острый угол 67°, угол между NM и BK равен 67°.

Ответ: а) AK и NB скрещиваются; б) BK пересекает (NVM); в) без дополнительных данных определить нельзя; ∠(VK, AC) = 45°, ∠(NM, BK) = 67°.