Задача 1. Прямые m и n пересекаются в точке P, AB ∈ w, A₁B₁ ∈ α. PA = 6 см, PA₁ = 21 см, AB = 10 см. Найдите длину отрезка A₁B₁, если плоскость w параллельна плоскости α (рис. 1).

Плоскости w и α параллельны, поэтому их пересечения с прямыми, проходящими через P, задают подобные треугольники. Коэффициент подобия равен отношению расстояний от P:

\(k=\dfrac{PA_1}{PA}=\dfrac{21}{6}=3.5\).

Соответствующие отрезки в параллельных плоскостях относятся с тем же коэффициентом:

\(A_1B_1=AB\cdot k=10\cdot3.5=35\) см.

Ответ: 35 см.