Задача 4*. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через вершины B и D проходит плоскость сечения, параллельная диагонали A₁C. Постройте это сечение и найдите его площадь, если AB = BC = 8√2 см, CC₁ = 12 см.

Обозначим через E точку пересечения плоскости с ребром AA₁. Возьмём координаты \(A(0,0,0)\), \(B(s,0,0)\), \(C(s,s,0)\), \(D(0,s,0)\), где \(s=8\sqrt2\), а высота параллелепипеда равна 12 см.

1. Плоскость сечения проходит через BD и параллельна A₁C. Из этих направлений следует, что её пересечение с AA₁ находится на половине ребра: \(AE=\dfrac{CC_1}{2}=6\) см. Сечение — треугольник BDE.
2. Диагональ основания \(BD=\sqrt{(8\sqrt2)^2+(8\sqrt2)^2}=16\) см.
3. Расстояние от E до прямой BD складывается из перпендикулярных составляющих: расстояния от A до BD, равного \(\dfrac{s}{\sqrt2}=8\) см, и высоты \(AE=6\) см. Поэтому высота треугольника BDE равна \(\sqrt{8^2+6^2}=10\) см.
4. Площадь сечения: \(S_{BDE}=\dfrac12\cdot16\cdot10=80\) см².

Построение: отметить E на AA₁ так, чтобы AE = 6 см, затем соединить E с B и D; вместе с ребром BD получаем сечение BDE.

Ответ: площадь сечения равна 80 см².