Задача 1: Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 77% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение: Обозначим события: * H - пациент болен гепатитом * $$\overline{H}$$ - пациент не болен гепатитом * + - результат анализа положительный Из условия задачи даны следующие вероятности: * $$P(H) = 0.77$$ (вероятность, что пациент болен гепатитом) * $$P(\overline{H}) = 1 - P(H) = 1 - 0.77 = 0.23$$ (вероятность, что пациент не болен гепатитом) * $$P(+|H) = 0.9$$ (вероятность положительного результата при наличии гепатита) * $$P(+|\overline{H}) = 0.02$$ (вероятность положительного результата при отсутствии гепатита) Нам нужно найти $$P(+)$$ - вероятность того, что результат анализа будет положительным. Используем формулу полной вероятности: $$P(+) = P(+|H) \cdot P(H) + P(+|\overline{H}) \cdot P(\overline{H})$$ Подставляем значения: $$P(+) = (0.9 \cdot 0.77) + (0.02 \cdot 0.23) = 0.693 + 0.0046 = 0.6976$$ Ответ: Вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным, равна 0.6976 или 69.76%. Разъяснение для ученика: Представь, что у нас есть много людей, пришедших в больницу с подозрением на гепатит. Мы знаем, что 77% из них действительно больны. Когда мы делаем анализ, он может показать положительный результат даже у тех, кто не болен (ложноположительный результат). Наша задача - узнать, какова общая вероятность, что анализ покажет положительный результат. Чтобы это узнать, мы считаем, какая часть положительных результатов будет у больных, а какая - у здоровых, и складываем их. Так мы получаем общую вероятность положительного результата.