Задача 1. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 672. Какое число задумали?

Пусть двузначное число имеет вид \(10a+b\), где \(a\) и \(b\) — его цифры. Тогда \((10a+b)ab=672\).

Переберём возможные произведения цифр. Подходит разложение: \(672=84\cdot8\), а число \(84\) имеет произведение цифр \(8\): \(8\cdot4=32\), поэтому не подходит. Проверим число \(48\): \(4\cdot8=32\), \(48\cdot32=1536\).

Число \(21\) имеет произведение цифр \(2\), и \(21\cdot2=42\). Число \(42\) имеет произведение цифр \(8\), и \(42\cdot8=336\). Число \(84\) — произведение цифр \(32\).

Разложим: \(672=2^5\cdot3\cdot7\). Проверка двузначных чисел с произведением цифр даёт: \(672\div 12=56\), а \(5\cdot6=30\); \(672\div 24=28\), а \(2\cdot8=16\); \(672\div 28=24\), а \(2\cdot4=8\); \(672\div 32=21\), а \(2\cdot1=2\).

Следовательно, такого двузначного числа не существует: ни одно двузначное число не удовлетворяет условию.

Ответ: такого числа нет.