Задача 10: Дано: АВ = ВС (рис. 5.74). Найти: ∠B.

Решение:

• Треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = BC.
• Следовательно, углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
• В треугольнике ABD, ∠ADB = 90°, ∠BAD = ∠BAC.
• Угол ∠ABD = ∠B.
• В треугольнике ABC, ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°.
• 2 * ∠BAC + ∠B = 180°.
• ∠BAC = (180° - ∠B) / 2 = 90° - ∠B/2.
• В треугольнике ABD, ∠BAD = 90° - ∠B/2.
• ∠ADB = 90°.
• ∠ABD = ∠B.
• Сумма углов в треугольнике ABD: ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°.
• (90° - ∠B/2) + ∠B + 90° = 180°.
• 180° + ∠B/2 = 180°.
• ∠B/2 = 0°, что невозможно.
• Ошибка в предположении, что ∠ADB = 90°.
• AD — биссектриса.
• В треугольнике ABC, AB = BC.
• ∠BAC = ∠BCA.
• AD — биссектриса угла A, значит ∠BAD = ∠CAD.
• ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 2 * ∠BAD.
• ∠BCA = 2 * ∠BAD.
• В треугольнике ABD, ∠ADB = 75°.
• Сумма углов в треугольнике ABD: ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°.
• ∠BAD + ∠B + 75° = 180°.
• ∠BAD = 105° - ∠B.
• ∠BAC = 2 * ∠BAD = 2 * (105° - ∠B) = 210° - 2∠B.
• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°.
• (210° - 2∠B) + (210° - 2∠B) + ∠B = 180°.
• 420° - 3∠B = 180°.
• 3∠B = 420° - 180° = 240°.
• ∠B = 240° / 3 = 80°.
• Проверка:
• ∠B = 80°.
• ∠BAC = ∠BCA = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°.
• ∠BAD = ∠BAC / 2 = 50° / 2 = 25°.
• В треугольнике ABD: ∠BAD = 25°, ∠ABD = 80°.
• ∠ADB = 180° - 25° - 80° = 180° - 105° = 75°.
• Это совпадает с условием.

Ответ: ∠B = 80°