Задача 10. Сколько существует семизначных семеричных чисел, которые содержат в своей записи ровно две чётные цифры?

В семеричной системе цифры — от 0 до 6: чётных цифр 4 (0, 2, 4, 6), нечётных — 3 (1, 3, 5). Первая цифра не может быть нулём.

1. Первая цифра чётная: для неё 3 варианта (2, 4, 6). Среди оставшихся шести мест должна быть ровно одна чётная цифра: выбираем её место 6 способами, цифру — 4 способами; остальные пять цифр нечётные, по 3 варианта каждая. Получаем \(3\cdot6\cdot4\cdot3^5=17\,496\).
2. Первая цифра нечётная: 3 варианта. Среди оставшихся шести мест должны стоять две чётные цифры: выбираем места \(\binom{6}{2}\) способами, цифры — по 4 варианта; оставшиеся четыре цифры нечётные, по 3 варианта. Получаем \(3\cdot\binom{6}{2}\cdot4^2\cdot3^4=62\,208\).

Складываем: \(17\,496+62\,208=79\,704\).

Ответ: 79 704 числа.