Задача 12. Вероника составляет слова, меняя местами буквы в слове КЛАБХАУС так, что любые две соседние буквы различны между собой. Сколько слов, включая исходное, может составить Вероника?

В слове КЛАБХАУС 8 букв, причём А встречается дважды, а остальные шесть букв различны.

1. Без ограничений можно составить \(\frac{8!}{2!}=20\,160\) перестановок.
2. Если две буквы А стоят рядом, считаем их единым блоком АА. Тогда переставляются 7 различных объектов, то есть таких слов \(7!=5\,040\).
3. Вычитаем запрещённые варианты: \(20\,160-5\,040=15\,120\).

Ответ: 15 120 слов.