Задача 13. Ася составляет 7-буквенные слова из букв апельсин. Все буквы различны. Буквы не повторяются. Буква — мягкий знак, если встречается, стоит между двумя согласными. Сколько таких слов может составить Ася?

В слове «апельсин» 8 различных букв: 3 гласные (а, е, и), 4 согласные (п, л, с, н) и мягкий знак.

1. Если мягкий знак не используется, выбираем 7 букв из остальных семи и переставляем их: \(7!=5\,040\) слов.
2. Если мягкий знак используется, пропускаем одну из семи остальных букв. Если пропущена гласная (3 варианта), в наборе остаются 4 согласные. Для каждого набора число допустимых слов равно \(4\cdot3\cdot120=1\,440\): в каждой перестановке шести обычных букв мягкий знак можно вставить в промежуток между соседними согласными; суммарно число таких вставок равно \(120\cdot4\cdot3\).
3. Если пропущена согласная (4 варианта), остаются 3 согласные. Для каждого набора допустимых слов \(120\cdot3\cdot2=720\).
4. Складываем: \(5\,040+3\cdot1\,440+4\cdot720=12\,000\).

Ответ: 12 000 слов.