Задача 14. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведены медиана CM и биссектриса CK. Найдите угол между ними, если ∠A = 40°.

Так как ∠C = 90°, то ∠B = 90° − 40° = 50°. Биссектриса CK делит угол C пополам, поэтому ∠ACK = 45°.

Пусть CA = a, CB = b. В прямоугольном треугольнике tan A = b/a. Медиана CM проведена к гипотенузе AB, поэтому M — её середина. Если принять C за начало координат, а стороны CA и CB за оси, то координаты M пропорциональны (a, b). Следовательно, угол между CA и CM равен arctan(b/a) = A = 40°.

Угол между CM и CK равен 45° − 40° = 5°.

Ответ: 5°.