Задача 15. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠CAB = 40°.

Так как AB = AC, а ∠CAB = 40°, углы при основании равны:

∠ABC = ∠BCA = (180° − 40°) / 2 = 70°.

В треугольнике ABX равны стороны AX и BX, поэтому равны углы напротив них: ∠ABX = ∠BAX = 40°. Тогда ∠AXB = 180° − 40° − 40° = 100°.

Точки A, X, Y лежат на одной прямой, причём X находится между A и Y. Поэтому ∠BXY = 180° − ∠AXB = 80°.

В треугольнике BXY равны BX и BY, значит, углы при основании равны: ∠BXY = ∠XYB = 80°. Отсюда ∠XBY = 20°.

Угол ABC состоит из углов ABX, XBY и CBY. Поэтому ∠CBY = 70° − 40° − 20° = 10°.

Ответ: 10°.