Задача 16. ABCD — ромб, ∠1 : ∠2 = 2 : 1. На рисунке AR = 3 см, BR = 1 см. Найти ∠A и P_ABCD.

Диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому ∠B = 2∠1, а ∠C = 2∠2. Из условия ∠1 : ∠2 = 2 : 1 следует ∠B : ∠C = 2 : 1.

Соседние углы ромба в сумме равны 180°. Пусть ∠C = x, тогда ∠B = 2x и 3x = 180°, откуда ∠C = 60°, ∠B = 120°. Противоположные углы ромба равны, значит, ∠A = ∠C = 60°.

Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, поэтому RC = AR = 3 см. В прямоугольном треугольнике BRC сторона ромба равна BC = √(BR² + RC²) = √(1² + 3²) = √10 см.

P_ABCD = 4√10 см.

Ответ: ∠A = 60°, P_ABCD = 4√10 см.