Задача 2. На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка К так, что АВ = АК. Докажите, что ВК — биссектриса угла АВС. Найдите периметр параллелограмма АВСД, если АВ = 12 см, КД = 7 см.

Доказательство. Так как АВ = АК, треугольник АВК равнобедренный с основанием ВК, поэтому ∠АВК = ∠ВКА. Поскольку К лежит на АД, а АД ∥ ВС, углы ∠ВКА и ∠КВС равны как углы, образованные секущей ВК с параллельными прямыми. Следовательно, ∠АВК = ∠КВС, то есть ВК — биссектриса угла АВС.

АК = АВ = 12 см, поэтому АД = АК + КД = 12 + 7 = 19 см. Периметр параллелограмма:

Р = 2 · (АВ + АД) = 2 · (12 + 19) = 62 см.

Ответ: 62 см.