Задача 1. Вычислите периметр прямоугольника АВСД, если биссектриса угла В пересекает сторону АД в точке Е и делит ее на отрезки АЕ= 17 см и ЕД=21см.

Задача 1. Прямоугольник

Дано:

• Прямоугольник АВСД.
• Биссектриса угла В пересекает сторону АД в точке Е.
• \( AE = 17 \) см.
• \( ED = 21 \) см.

Найти: Периметр прямоугольника АВСД.

Решение:

1. Так как АВСД - прямоугольник, то \( AD = BC \) и \( AB = CD \). Также \( ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90^\circ \).
2. Биссектриса угла В делит угол пополам.
3. Рассмотрим треугольник АВЕ. \( ∠ BAE = 90^\circ \). \( ∠ ABE = ∠ B / 2 \).
4. Так как \( AB Ⅰ CD \) и \( AD \) - секущая, то \( ∠ BAE = ∠ ABC = 90^\circ \).
5. Биссектриса угла В делит угол В пополам, значит \( ∠ ABE = ∠ EBC \).
6. В прямоугольнике \( AB Ⅰ CD \) и \( BC Ⅰ AD \).
7. Рассмотрим треугольник АВЕ. \( ∠ BAE = 90^\circ \). \( ∠ BEA = ∠ ABC / 2 \) (так как биссектриса).
8. Угол \( ∠ ABE \) и \( ∠ BEA \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( BE \).
9. Из условия, что биссектриса угла В пересекает сторону АД, следует, что \( AB = AE \).
10. По условию \( AE = 17 \) см, значит \( AB = 17 \) см.
11. Длина стороны \( AD = AE + ED = 17 + 21 = 38 \) см.
12. Периметр прямоугольника равен \( P = 2(AB + AD) \).
13. Подставим значения: \( P = 2(17 + 38) = 2(55) = 110 \) см.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 110 см.